Up \( (P, {\bf{v}} ) \)-法点の \( P_x, P_y, P_z, v_x, v_y, v_z \)-表現 (2) 作成: 2022-09-30
更新: 2022-09-30

    \( T \) の座標 \( ( T_x,\ T_y,\ T_z ) \) は，\( T_x = 0 \) である。
    そしてこの座標と \( P = ( P_x,\ P_y,\ P_z ),\ {\bf{v}} = ( v_x,\ v_y,\ v_z ) \) の間の関係は， \[ \vec{ OP } \cdot {\bf{v}} = 0 \\ \vec{ OP } \cdot \vec{ OT } = 0 \\ {\bf{v}} \cdot \vec{ OT } = 0 \] から \[ P_x\ v_x + P_y\ v_y + P_z\ v_z = 0 \\ P_y\ T_y + P_z\ T_z = 0 \\ v_y\ T_y + v_z\ T_z = 0 \\ \] そして \[ \frac{ {\bf v} }{ v } = \ \frac{ \vec{OT} \times \vec{OP} }{ | \vec{OT} \times \vec{OP} |}\ \ \ ,\ \quad v = | {\bf v} | \] から \[ \frac{ v_x }{ v } = \frac{ T_y\ P_z - T_z\ P_y }{ R^2 } \\ \frac{ v_y }{ v } = \frac{ T_z\ P_x }{ R^2 } \\ \frac{ v_z }{ v } = - \frac{ T_y\ P_x }{ R^2 } \]


    そしてこの関係式から，\( T \) の座標がつぎのように定まる：
      \( P_x \ne 0 \) のとき \[ T_y = - \ \frac{ R^2\ v_z }{ P_x\ v }\ \\ T_z = \ \frac{ R^2\ v_y }{ P_x\ v }\ \ \ \] \( P_x = 0 \) のとき \[ T_y = \frac{ P_z\ v_x }{ v } \\ T_z = - \frac{ P_y\ v_x }{ v } \\ \]