Up 数の積の拡張 (テンソル積) 作成: 2026-08-02
更新: 2026-08-02
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    数学では，｢テンソル｣ のことばは，ふつう ｢テンソル積｣ を指す。
    物理学も，｢テンソル｣ は ｢テンソル積｣。

    テンソル積は，数の積の拡張である。

    数の積，例えば自然数の積は，つぎの写像：
    　　f : ℕ × ℕ → ℕ
    　　　　( m, n ) ↦ m × n

    f は，つぎが成り立つ：
    　　　　f( m × k, n ) = f( m, n ) × k
    　　　　f( m, n × k ) = f( m, n ) × k

    この f を，体 K上の双線型写像に，つぎのように拡張する。

    体 K上の線型空間U, V, W に対し，写像
    　　　f : U × V → W
    が双線型写像であるとは：
    　　　f( u ×α, v ) = f( u, v ) ×α
    　　　f( u, v ×α ) = f( u, v ) ×α
    　　　（｢×α｣ は，α∈K の倍作用）

    このとき，
    　　　f( u, v ) = f( u', v' )
    は，U × V 上の同値関係になる。

    この同値関係による U × V の商集合を U⊗V で表す。
    U × V から商集合 U⊗V への標準写像を can で表し，can(u, v) を u⊗v で表す。

    このとき，つぎの対応が，U⊗V から W への線型写像になる：
    　　　val : u⊗v ↦ f(u, v)

    こうして f は，写像 can と val の合成に表される：
    　　　f : U × V → U⊗V → W
    　　　　( u, v ) → u⊗ v → f(u, v)

    これは，自然数の積の
    　　　( 2, 3 ) → 2 × 3 → 6
    と対応している。
    テンソル積の思想は，｢立式｣ である：
    　　｢式 2×3 をリザーブする
    　　　──計算は，したいときにすればよい｣