ベクトル \(\bf A\) の平行移動から，つぎの関係を導いた
(  「座標の接続」)：
：
\[
\begin{align*}
a_i({\bf x}+ d{\bf x}) = a_i({\bf x})
+ \sum_m \sum_k \Gamma^k_{im}\, a_k({\bf x})\ dX^m
\end{align*}
\]
これより
\[
\frac{ \partial }{\partial X^j} a_i({\bf x}+ d{\bf x})
\\= \frac{\partial }{\partial X^j}
\left( a_i({\bf x}) + \sum_m \sum_k \Gamma^k_{im}\, a_k({\bf x})\ dX^m \right)
\\= \frac{\partial a_i({\bf x}) } {\partial X^j}
+ \sum_m \sum_k \Gamma^k_{im}\, a_k({\bf x})\ \frac{\partial X^m}{\partial X^j}
\\= \frac{\partial a_i({\bf x}) } {\partial X^j}
+ \sum_m \sum_k \Gamma^k_{im}\, a_k({\bf x})\ \delta_{jm}
\\= \frac{\partial a_i({\bf x}) } {\partial X^j}
+ \sum_k \Gamma^k_{ij}\, a_k({\bf x})
\]
これを，\( {\nabla}_j a_i({\bf x})\) で表し，\(a_i({\bf x})\) の「共変微分」と呼ぶ：
\[
{\nabla}_j a_i({\bf x}) = \frac{\partial a_i({\bf x}) } {\partial X^j}
+ \sum_k \Gamma^k_{ij}\, a_k({\bf x})
\]
「共変微分」の「共変」は，\(a_i\) ないし \( \nabla_j \) が「共変」と特徴づけられることによる。
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