Up 共変微分 \( {\nabla}_j \) 作成: 2018-01-09
更新: 2018-02-07


    ベクトル \(\bf A\) の平行移動から,つぎの関係を導いた ( 「ベクトルの平行移動」): :
      \( da_i({\bf x}) = a_i ({\bf x}+ d{\bf x})- a_i ({\bf x}) \) = (接続) + (微分)
      (接続) = \( {\bf a}({\bf x}) \cdot {\bf e}_i ({\bf x}+ d{\bf x}) - a_i({\bf x}) \)
         = \( \sum_m \sum_k\Gamma^k_{im} \, a_k({\bf x})\, dX^m \)
      (微分) = \( a_i({\bf x}+ d{\bf x}) - {\bf a}({\bf x}) \cdot {\bf e}_i ({\bf x}+ d{\bf x}) \)
         = \( a_i({\bf x}+ d{\bf x}) - a_i ({\bf x}) - \sum_m \sum_k\Gamma^k_{im} \, a_k({\bf x})\, dX^m \)

    これを,つぎのようにまとめる:
      (微分) = \( da_i ({\bf x})\) - (接続)
         = \( da_i ({\bf x}) - \sum_m \sum_k\Gamma^k_{im} \, a_k({\bf x})\, dX^m \)


    微分式 \[ da_i ({\bf x}) - \sum_m \sum_k\Gamma^k_{im} \, a_k({\bf x})\, dX^m \] に対応する偏微分の式は, \[ \frac{\partial a_i({\bf x})}{\partial X^j} - \sum_m \sum_k\Gamma^k_{im} \, a_k({\bf x})\, \ \frac{\partial X^m}{\partial X^j} \\ = \frac{\partial a_i({\bf x})}{\partial X^j} - \sum_k\Gamma^k_{ij} \, a_k({\bf x}) \\ \] これを,\( {\nabla}_j a_i({\bf x})\) で表し,\({\bf a}({\bf x})\) の「共変微分」と呼ぶ: \[ {\nabla}_j a_i({\bf x}) = \frac{\partial a_i({\bf x})}{\partial X^j} - \sum_k\Gamma^k_{ij} \, a_k({\bf x}) \\ \]
    ──「共変」のことばの由来は: