Up <赤玉白玉同数の箱>のエントロピー 作成: 2017-07-03
更新: 2017-07-05


    「エントロピー最大」は,「系の状態で最も確率の高いものの実現」と対応する。
    このとき「エントロピー弾性」の H-Sグラフは,つぎが「系の状態で最も確率の高いものの実現」の内容であることを示している:
    • 熱エネルギーが,全熱エネルギーの半分
    • 温度が0
    • b型が全体の半分
      エントロピー弾性

    ここで,「b型が全体の半分」に着目する。
    実は,「エントロピー弾性」の論では,「熱エネルギー」の語が空回りしている
    論の中で「熱エネルギー」として機能しているものは,専ら「b型が全体に占める割合」である。
    このことは,つぎのように言ってかまわないことを示している:
      《「熱エネルギー」とは,「b型が全体に占める割合」のこと》


    赤玉,白玉が同数入った箱をずっと振っていくと,均質に混ざったところで落ち着く。
    これは,よく「エントロピー」の主題にされる。
    しかしその論者は,この場合の<熱エネルギー → エントロピー>関数を示さない。
    ここで,この関数をここで定めるとしよう。
    「熱エネルギー」概念の形式性を確認することが,ここでの目的である。
    やることは,上の「エントロピー弾性」の方法「b型が全体に占める割合」をなぞることである。

    <熱エネルギー → エントロピー>関数はつぎのように定めればよい:
    1. 赤玉白玉それぞれN個とする。
    2. Nに対する左側にある赤玉の数nの割合 H = n/N を,「熱エネルギー」とする。
    3. <左側にある赤玉の数がn>の組み合わせの数Wを,熱エネルギー H に対する「状態数」とする。
    4. eを底とするWの「桁数」S= log W を,熱エネルギー H に対する「エントロピー」とする。

    この<熱エネルギー → エントロピー>関数を,実際に求めてみよう。

    n個の赤玉が左側にある組み合わせの数Wは,N! × N! /((Nーn)! × (Nーn)! × n! × n!)
      左側の赤玉がn個のとき,左側の白玉は Nーn個。  
      赤玉N個からn個をとる組み合わせの数は,。  
      白玉N個から Nーn個をとる組み合わせの数は,。  
      よって,n個の赤玉が左側にある組み合わせの数Wは:
        W = × Nーn
          = N! /((Nーn)! × n!) × N! /((Nー(Nーn)! × (Nーn!)
          = N! × N! /((Nーn)! × (Nーn)! × n! × n!)

    S = ーM ( H log H + (1ーH) log(1ーH ) ) ──ここで,M=2N (玉の総数)。
      S = log W
        = log (N! × N! /((Nーn)! × (Nーn)! × n! × n!))
        = 2 log N! ー2 log(Nーn)! ー 2 log n!
      スターリングの近似公式を適用して
        = 2 (N logNー N) ー2 ((Nーn) log(Nーn) ー (Nーn)) ー 2(nlog nーn)
        = 2 (N logNー N ー (Nーn) log(Nーn) + (Nーn) ー nlog n+n)
        = 2 (N logN ー (Nーn) log(Nーn) ー nlog n )
        = 2 ( ーn( log nー log N ) ー (Nーn) ( log(Nーn) ー log N )
        = ー2N ( n/N log n/N + (1ーn/N) log (1ーn/N) )
        = ーM ( H log H + (1ーH) log(1ーH ) )

    y = x log x + (1ーx) log(1ーx ) のグラフは,既に求めている:
    そこで,つぎが S = ーM ( H log H + (1ーH) log(1ーH ) ) のグラフ ── 0 ≤ H ≤ 1/2 に留意:
    温度β = dS/dH をグラフに記入するならば:

    このグラフから,温度βと熱エネルギーHの対応グラフも読み取れる:
      β=0 のとき, H = 1/2
      βの増大と Hの減少が対応
      β= ∞ と H = 0 が対応

    実際,関数:β├→ H の式は,H = 1 / (eεβ +1 ) ── ここで,ε = 1/M。
      β = dS/dH
        = d(ーM (H log H + (1ーH) log (1ーH) )/dH
        = ーM ( ( log H+ H・1/H ) + ( (ー1) log (1ーH) + (1ーH)・(ー1/ (1ーH)))
        = ーM ( log H+ 1 ー log (1ーH) ー1 )
        = ーM log H/(1ーH)
      log H/(1ーH) = ーεβ
      ⇐⇒ H/(1ーH) = eーεβ
      ⇐⇒ H = (1ーH) eーεβ
      ⇐⇒ H (1+ eーεβ ) = eーεβ
      ⇐⇒ H = eーεβ / (1+ eーεβ ) = 1 / (eεβ +1 )