Up リーマン多様体 作成: 2018-01-08
更新: 2018-01-16


(作成中)

 

 0 はじめに


 1 「多様体」とは

  『「多様体」とは何か』


 2 「リーマン多様体」とは

 2.1 超越論的多様体論
  2.1.1 超越論
  2.1.2 『一般相対性理論』

 2.2 座標系
  2.2.1 リーマン多様体の地図帳
  2.2.2 デカルト座標系
  2.2.3 一般座標系

 2.3 接続
  2.3.1 平行移動
  2.3.2 クリストッフェル記号 \( {\Gamma}^t_{ij} \)

 2.4 計量
  2.4.1 リーマン計量 \(g_{ij}\)

 2.5 「テンソル」
  2.5.1 座標に依らない計算式


 3 ベクトル場

 3.1 ベクトル場の構造
  3.1.1 ベクトル場の構造


 4 リーマン多様体の解析

 4.1 共変微分
  4.1.1 共変微分 \( {\nabla}_j \)
  4.1.2 直線座標の場合
  4.1.3 定ベクトルの場合

 4.2 測地線 (1)
  4.2.1 
「真っ直ぐな線」
  4.2.2 接ベクトルに沿う測地線

 4.3 曲率
  4.3.1 リーマン曲率の考え方
  4.3.2 曲率 \( R^i_{jkl} \)
  4.3.3 共変微分からの曲率の導出
  4.3.4 テンソル \( R^i_{jkl} \)

 4.4 計量

 4.5 接続

 4.6 測地線 (2)
  4.6.1 「最短距離の線」


 

 5 おわりに