Up 「リーマン多様体」とは何か 作成: 2018-01-08
更新: 2018-03-12


(作成中)
『「多様体」とは何か』
『「テンソル」とは何か』
『相対性理論』

オンラインブック版
PDF 28.65 MB

Ver. 2018-03-12

作成/更新履歴
『「リーマン多様体」とは何か』(PDF版) (08-03-12)
  • おわりに (18-03-10)
  • 『相対性理論』へ (18-03-10)
  • 「リーマン多様体」の思想を知る (18-03-10)
  • 共変座標 (18-03-09)
  • デカルト座標の変換 (18-03-09)
  • 「デカルト座標の変換」の意味 (18-03-09)
  • 時空4次元の旅 (18-02-19)
  • <いま・ここ>=<わたし> (18-02-19)
  • 慣性 (18-02-19)
  • 平行移動の経路依存 (18-02-18)
  • 「平行移動」とは (18-02-18)
  • 空間探査の旅──<いま・ここ>の記録と解析 (18-02-17)
  • 地図の作成 (18-02-17)
  • 地図を接ぐ (18-02-17)
  • 曲線座標 (18-02-17)
  • 曲線座標地図は何のため (18-02-15)
  • 地図の内容 (18-02-13)
  • 接平面 (18-02-13)
  • 点ごとに地図を設ける (18-02-06)
  • 「リーマン多様体」 (18-02-06)
  • 「現空間」の主題化 (18-02-06)
  • 「マトリクス場」の定義 (18-02-05)
  • 「ポテンシャル」 (18-02-05)
  • 「接ベクトル空間」の不明 (18-02-04)
  • 『相対性理論』 (18-02-02)
  • 「進化する空間」の多様体構造 (18-02-01)
  • 「n次元人」って何よ? (18-02-01)
  • 地図の接続 (18-01-31)
  • 曲線座標 (18-01-31)
  • リーマン多様体論における「座標変換」の内容 (18-01-31)
  • 接ベクトル束 (18-01-31)
  • <地図帳の地図を引く> →「ファイバー束の切断」 (18-01-31)
  • 標高 (18-01-30)
  • スカラー場,ベクトル場,テンソル場 (18-01-30)
  • 地図面=接平面 (18-01-30)
  • 接ベクトル (18-01-30)
  • 接ベクトル空間 (18-01-30)
  • リーマン計量 (18-01-27)
  • 数学テクスト批判 (18-01-27)
  • わたしの真っ直ぐは,真っ直ぐでない (18-01-26)
  • 「曲率」導出のアイデア (18-01-22)
  • 「リーマン曲率」の主題の意味 (18-01-20)
  • 座標変換式 (18-01-19)
  • 「場」の定義 (18-01-15)
  • 「等値線」(←「等高線」) (18-01-15)
  • 「スカラー場」の定義 (18-01-15)
  • 「ベクトル場」の定義 (18-01-15)
  • 「テンソル場」の定義 (18-01-15)
  • リーマン多様体の地図帳 (18-01-15)
  • 曲率 (18-01-12)
  • 共変微分からの曲率の導出 (18-01-12)
  • 「曲率テンソル」? (18-01-12)
  • 「真っ直ぐ進む」 (18-01-12)
  • デカルト座標 (18-01-11)
  • ベクトルの平行移動 (18-01-11)
  • 基底の接続 (18-01-11)
  • 座標の接続 (18-01-11)
  • クリストッフェル記号 (18-01-09)
  • 共変微分 (18-01-09)
  • 共変テンソル (18-01-09)

  •    
     0 導入

     0 本テクストの趣旨

     0.1 「リーマン多様体」の思想を知る
     0.2 『相対性理論』へ
     0.3 数学テクスト批判


     I 探査

     1 空間探査

     1.1 主題 :「現空間」
      1.1.1 「現空間」の主題化
      1.1.2 「リーマン多様体」

     1.2 空間探査旅行
      1.2.1 空間探査の旅──<いま・ここ>の記録と解析
      1.2.2 地図の作成
      1.2.3 地図を接ぐ
      1.2.4 曲線座標

     1.3 「平行移動」
      1.3.1 「平行移動」とは
      1.3.2 平行移動の経路依存


     2 時空間

     2.1 「進化する空間」
      2.1.1 「n次元人」って何よ?
      2.1.2 「接ベクトル空間」の不明
      2.1.3 「進化する空間」の多様体構造

     2.2 時空
      2.2.1 『相対性理論』
      2.2.2 時空4次元の旅
      2.2.3 <いま・ここ>=<わたし>
      2.2.4 慣性


     II データ

     3 地図帳

     3.1 地図設定
      3.1.1 わたしの真っ直ぐは,真っ直ぐでない
      3.1.2 リーマン多様体の地図帳
      3.1.3 点ごとに地図を設ける
      3.1.4 地図の内容
      3.1.5 デカルト座標
      3.1.6 曲線座標
      3.1.7 曲線座標地図は何のため

     3.2 曲線座標のデカルト座標
      3.2.1 リーマン多様体論における「座標変換」の内容
      3.2.2 座標変換式

     3.3 デカルト座標の変換
      3.3.1 「デカルト座標の変換」の意味
      3.3.2 デカルト座標の変換
      3.3.3 共変座標

     3.4 接続
      3.4.1 地図の接続
      3.4.2 ベクトルの平行移動
      3.4.3 基底の接続
      3.4.4 座標の接続
      3.4.5 クリストッフェル記号 \( {\Gamma}^k_{ij} \)


     III 解析

     4 空間の曲がり

     4.1 共変微分
      4.1.1 共変微分 \( {\nabla}_j \)
      4.1.2 共変テンソル \( {\nabla}_j \)

     4.2 曲率
      4.2.1 「リーマン曲率」の主題の意味
      4.2.2 「曲率」導出のアイデア
      4.2.3 曲率 \( R^i_{jkl} \)
      4.2.4 共変微分からの曲率の導出
      4.2.5曲率テンソル」?


     5 計量

     5.1 計量
      5.1.1 リーマン計量 \(g_{ij}\)
      5.1.2 計量テンソル

     5.2 接続

     5.3 測地線
      5.3.1 「真っ直ぐ進む」

     5.4 捩れ
      5.4.1 捩れテンソル


     6 場

     6.1 「場」とは
      6.1.1 「場」の定義
      6.1.2 「等値線」(←「等高線」)

     6.2 スカラー場
      6.2.1 「スカラー場」の定義
      6.2.2 「ポテンシャル」

     6.3 ベクトル場
      6.3.1 「ベクトル場」の定義

     6.4 マトリクス場
      6.4.1 「マトリクス場」の定義

     6.5 テンソル場
      6.5.1 「テンソル場」の定義
      6.5.2 計量テンソル場
      6.5.3 座標に依らない計算式


     IV 閉じ

     7 おわりに